第七章 机械能守恒定律【知识点】：一、功的两个基本要素：一是力，二是力的作用方向与物体位移方向相一致。二、功的计算方法：W表示功的大小；正功与负功的区分：①当角度θ小于或等于π/2时，cosθ大于0，wo表示力对物体完成正功。当角度θ等于π/2时，cosθ等于0，w等于0，表示力对物体未做功（力与位移方向呈垂直状态）。当角度a在0到π/2之间时，余弦值大于0，因此w0，即物体所受的功，表现为负功。合力所做的功：首先计算出合力，接着计算总功，其公式为W总=F合L cos θ（θ为合力与位移方向的夹角）；各分力所做的功之和等于合力的功，即W总=W1+W2+W3+...。例如，在图1中，对质量为m的物体施加拉力，使其沿水平面匀速移动距离s，若物体与地面之间的摩擦系数为μ，那么该力对物体所做的功为：A. μmgs；B. μmgs/(cosα +μsinα)；C. μmgs/(cosα-μsinα)；D. μα /(cosα+μsinα)。功率的定义式为P，所求得的功率是时间t内的平均功率。在应用此计算公式时，需注意公式为P等于F乘以V乘以cosθ，其中θ代表力的方向与速度方向之间的夹角。此外，在使用此公式时，必须确保力F保持恒定不变。当速度为瞬时值时，相应的功率即为瞬时功率；而当速度取平均值时，对应的功率则为平均功率；若作用力和速度方向一致，上述公式可进一步简化为PFv³；机车启动的理想模式有两种：一是以恒定功率启动，二是以恒定加速度a启动；关于重力势能，其表达式为EP=mgh；重力做功的特点是，其与路径无关，仅与物体的起始和终止位置相关；至于弹性势能，其表达式为EP=k(l²)/2，其中l代表弹簧的形变量；动能定理的数学形式为：W总=mv²²-mv²¹；动能定理的应用要点包括：外力对物体所做的总功，等同于合外力所做的功，也等同于所有外力做功的代数和。

无论恒力是否进行功的施加，抑或物体是否沿直线轨迹运动，该原理始终适用；在处理变力做功的问题时，运用动能定理能够更加便捷、高效。动能定理涵盖了一个变化过程，以及两个不同的状态。所谓的过程，特指物体在力的作用下完成功的过程，需要准确计算出该过程中所有外力所贡献的总功。如果物体的运动涉及多个物理阶段，其运动状态和受力情况都会随之改变，所以在考试中计算外力做功时，可以将其划分为若干段来分别考虑，或者将整个运动过程视为一个整体来处理；而所说的两个状态，则是指物体在初始和最终两个时刻所具有的动能。动能定理适用于惯性坐标系，在计算时，各物体的速度需以同一坐标系为基准，通常这个坐标系是地球。在解题时，动能定理相较于运用牛顿第二定律和运动学公式，因其不涉及加速度、时间和中间速度，通常更为简便，适用范围也更广，无论是直线运动还是曲线运动，匀变速还是非匀变速运动，皆可适用。因此，在运用动能定理解题时，首先要明确研究对象和研究过程。研究对象的选取既可为一个独立个体，亦可以是某一整体系统。若为单个个体，需关注所有作用力所贡献的功；若为系统，则需兼顾系统内部与外部所有作用力所造成的功。对研究对象实施受力剖析，明确各力的功效应。在分析过程中，需记录合外力所做功的总量，亦或分别列出各个力所做功的数值（务必注意功的符号）。在研究过程中，一旦发现物体所受的力发生了变化，就必须详细记录下该力在每个不同阶段所完成的功。

记录物体起始和结束时的动能值。依据动能定理进行方程式的构建。在仅有重力或弹力进行功的条件下，物体的动能与势能会互相转换，而机械能的总量依旧维持恒定。在不存在摩擦力及介质阻力的理想情况下，物体仅经历动能与势能之间的转换，机械能的总量依然保持恒定。机械能守恒的必要条件需特别强调，并非合力做功为零，亦非合力本身为零。以水平飞来的子弹击中静止于光滑水平面上的木块为例，虽然合力做功及合力均为零，但系统在克服内部阻力时做功，将部分机械能转化为内能，导致机械能总量减少。机械能守恒的条件是仅重力或弹簧弹力做功（即机械能未转化为其他形式能量），具体包括以下三种情况：仅有重力和弹力作用，无其他力；有除重力和弹力外的力作用，但这些力不做功；有除重力和弹力外的力做功，但这些力做功的代数和为零。关于机械能守恒定律的理解，首先，研究对象必须是系统，且至少包含地球。通常当我们谈论“小球的机械能守恒”时，这一概念实际上涵盖了整个地球系统，这是因为重力势能是地球与小球共同拥有的。此外，小球动能计算中使用的速度v，是指相对于地面的速度。

若研究对象仅包含一个物体（非地球），则通常通过判断是否仅有重力进行能量转换来确定机械能是否保持不变；而当研究对象由多个物体构成（非地球）时，我们则依据是否存在摩擦力和介质阻力来评估机械能是否保持守恒。绳子突然变得紧张，物体之间的非弹性碰撞，若题目未作特别说明，必然伴随着机械能的损耗；在两个物体碰撞后粘合的过程中，机械能的损失也是不可避免的。至于机械能守恒定律的不同表述方式，有如下两种：一是动能加势能等于常数，即 \(E_p + E_k = E_{p1} + E_{k1}\)；二是总机械能保持为零，即 \(E_p + E_k = 0\)；当使用第一种表述时，必须明确重力势能的参考平面。在应用②的情况下，无需指定重力势能的基准面，因为重力势能的变化量与基准面的选择无关。特别是当使用 ΔE增=ΔE减 这一公式时，只需将增加的机械能和减少的机械能分别列出，方程便会自动形成。在解题过程中，首先需要明确研究对象和研究步骤，接着判断机械能是否保持不变，选择相应表达式，然后进行方程的列出和求解。理解势能，它取决于相互作用物体间的相对位置，并作为系统的状态量存在。比如，重力势能取决于物体与地面之间的垂直距离，而弹性势能则与物体的形变程度相关。势能的具体数值会受到参考点（即势能为零的点）选择的影响，然而，势能的变化却与参考点的选择无关。重力势能的变动与重力所做功之间存在一定的关联，其关系可表示为：功W等于初始势能Ep1减去最终势能Ep2，即W=Ep1－Ep2，这可以进一步转化为质量m乘以重力加速度g和高度差h1与h2的乘积，即mgh1－mgh2；同样地，弹性势能的变化与弹簧在受力过程中所做的功也呈现出相似的联系。

在分析重力做功公式WG=mgh时，需注意区分其中的“h”与重力势能公式Ep=mgh中的“h”，前者指的是物体从初始位置移动到最终位置的高度差，而后者则表示物体相对于某一参考平面的垂直高度。七、功能关系方面，（1）功是衡量能量转换的尺度；在能量转换的过程中，完成功的过程实际上就是能量转换的过程，而完成功的数值则对应着能量转换的数值。不同形式的能量转换与不同形式的功之间存在关联。（2）在力学领域，功能关系的主要表现形式有：①合外力对物体所施加的功等于物体动能的增加量，即W合=Ek2-Ek1（动能定理）；②在只有重力（或弹簧的弹力）做功的情况下，物体的动能和势能会相互转换，从而保持物体的机械能守恒。重力所做的功是衡量重力势能变化的指标，表示为WG等于负的重力势能变化量ΔEP重，即WG=－ΔEP重＝EP末－EP初，也等于EP初乘以EP末。同样，弹力所做的功是弹性势能变化的度量，用W弹表示，等于负的弹性势能变化量ΔEP弹，即W弹＝－ΔEP弹＝EP末－EP初，也等于EP初乘以EP末。除了重力和弹力，其他力对物体做功是衡量物体机械能变化的尺度，表示为W其他，等于末状态的机械能减去初状态的机械能。对于滑动摩擦力对系统所做的总功，它是系统机械能转化为内能的度量，即f·S相＝Q。在理解“摩擦生热”时，设一块质量为m2的板在光滑的水平面上以速度υ2运动，一块质量为m1的物块以速度υ1在板上同向运动，且υ1大于υ2，它们之间的滑动摩擦力为f。经过一段时间，物块的位移为s1，板的位移为s2，此时两物体的速度分别变为υ′1和υ′2。根据动能定理，摩擦力对物块所做的功fs1等于物块动能的变化量，即fs1=1/2m1υ′1^2－1/2m1υ2^2。同样，摩擦力对板所做的功fs2等于板动能的变化量，即fs2=1/2m2υ′2^2－1/2m2υ2^2。在这个过程中，通过滑动摩擦力做功，机械能持续转化为内能，也就是不断产生热量。根据能量守恒定律和上述两个方程，我们可以得到损失的机械能（即产生的热量）Q等于（1/2m1υ2^2＋1/2m2υ2^2）减去（1/2m1υ′1^2－1/2m2υ′2^2），即Q=（1/2m1υ2^2＋1/2m2υ2^2）－（1/2m1υ′1^2－1/2m2υ′2^2）。由此可见，在两物体相互摩擦的过程中，损失的机械能（即产生的热量）与它们相对路程的乘积成正比。

该人登楼时克服重力所做的功等于摩擦力与长郡中学高一下期物理期末复习题（机械能）中，质量为60kg的人，从第一层登上大厦的第21层所用的时间为5分钟，若每层楼高23.0米，那么登楼时的平均功率为（重力加速度取10m/s²）。A. 1.8 × 10³kW。此外，还有其他题目，如一艘轮船以15m/s的速度匀速运动，所受阻力为×10⁷N，发动机的实际功率为5.4 × 10³kW。汽车发动机的额定功率为80kW，在平直公路上以额定功率行驶的最大速度为匀速行驶时所受的阻力是A. 8000N或B. 1600N。还有一道题目是关于汽车在平直公路上行驶时，阻力大小不变，若发动机功率保持恒定，汽车行驶过程中牵引力F和加速度a的变化情况是A. F逐渐减小，a也逐渐减小，B. F逐渐增大，a逐渐减小，C. F逐渐减小，a逐渐增大，D. F逐渐增大，a也逐渐增大。最后，改变汽车的质量和速度，都会影响汽车的动能。在以下四种情形中，汽车动能增至原值的四倍的是：A. 若汽车质量保持不变，其速度增至原来的四倍；B. 若汽车质量保持不变，其速度增至原来的两倍；C. 若汽车速度保持不变，其质量增至原来的两倍；D. 若汽车速度保持不变，其质量增至原来的六倍。利用潮汐发电，若某海湾围海面积为S，涨潮与落潮水位差为h，则每次潮汐可以发电的海水势能为：A. ρSh²；B. ρSh²/2；C. ρSh²g；D. ρSh²g/2。在图6-4所示的水平桌面上，A点处有一个质量为m的物体，在空气阻力作用下，当它到达2A点时，其动能表达式为：C. mv₀²/2 + mgH。一物体从某高度自由落下，撞击直立于地面的轻弹簧，当物体到达B点时速度为零，随后被弹回。

下列选项中，正确的是：物体在初速度为v0的情况下被抛出，不考虑空气阻力，在从A点下降至B点的过程中，其动能持续下降；在从B点上升至A点的过程中，动能持续上升；在从A点下降至B点以及从B点上升至A点的过程中，动能先增后减；在B点时，物体所受合力为零；在A点，物体开始与弹簧接触。关于质量为m=2.0kg的物体自由下落，重力加速度取10m/s²，第2秒内重力所做的功为：A．400W B．200W C．300W D．100W。快艇在水上行驶时，水的阻力与艇的速度平方成正比，若快艇速度为3v时，发动机的功率应为：A．27P B．9P C．3P D．81P。在图6-6所示的情况下，质量分别为m1和m2的两个物体，在相同距离上，若F1做的功为W1，F2做的功为W2，则：A．W1=W2 B．W1>W2 C．W1<W2 D．条件不足，无法确定。物体在平衡力作用下运动时，A．B．C．D．选项分别对应不同的结论。质量为m的物体以竖直向下3g的加速度加速运动，在它向下运动的过程中，A．物体的动能增加mgh B．物体的机械能增加2mgh C．合外力对物体做功2mgh D．物体的重力势能减少。汽车在平路上以额定功率从静止开始运动，其机械能不一定保持不变，动能不变，势能一定变化。当物体的势能发生变化时，其机械能一定有变化，但机械能不一定有变化。在速度为v行驶时，发动机的功率为p，当快艇的速度变为3v时，发动机的功率应为81P。在以下几种运动中，遵守机械能守恒定律的是：A．平抛运动 B．雨点匀速下落 C．物体沿斜面匀速下滑 D．汽车刹车的运动。上端固定的一根细线下面悬挂一摆球，摆球在空气中摆动，摆动的幅度越来越小。

关于该现象，以下说法准确：A、B、C、D项表明摆球的机械能保持恒定。整体能量同样保持恒定，摆球的机械能正在逐渐减少，减少的机械能转化为内能。能量并未消失。仅存在动能与重力势能之间的相互转换。如图6-8所示，小球从高处落下至竖直放置的轻弹簧上，在弹簧被压缩至最短的过程中，以下关于能量的描述正确：A、重力势能与动能之和保持恒定；B、重力势能与弹性势能之和始终保持恒定；C、动能与弹性势能之和始终保持恒定；D、重力势能、弹性势能和动能之和始终保持恒定。17. 跳水运动员从10米高的跳台跳下（忽略阻力），在下落过程中：A、运动员需要克服重力做功；B、运动员的机械能正在减少；C、运动员的动能减少，重力势能增加；D、运动员的动能增加，重力势能减少。19. 竖直向上抛出物体，受空气阻力影响，物体落回抛出点的速率小于抛出时的速率，则在此过程中：A、物体的机械能保持恒定；B、物体的机械能不保持恒定；C、物体上升时机械能减少，下降时机械能增加；D、物体上升时机械能增加，下降时机械能减小。20. 一个物体若能对外做功，则称其具有能量。一个物体能做的功越多，说明其能量越大。运动物体的速度越快，其质量越大，相应的动能也就越显著；当物体的质量增加，且被提升的高度越高，其重力势能也随之增加；而物体的弹性势能，则与它的弹性程度成正比，程度越高，势能也就越大。

两块完全一样的红砖，被分别举起至1.5米和2米的高度，位于较低处的红砖所拥有的重力势能较小。这是因为运动员投掷的铅球，在斜上方运动时，同时具备动能和势能。随着铅球的上升，其动能逐渐转化为势能；而在下降阶段，势能又逐渐转换成动能。在图1-2中，金属小球被细线悬挂，当将其拉至A点并释放后，小球在从A点移动至B点的过程中，其能量发生了转换。而在从B点移动至C点的过程中，能量则发生了另一种转换。26. 观察图中展示的情景，可以看到劲度系数的相关数据。

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